Question

（2011•重慶一模）設數列{a_n}的各項都為正數，其前n項和為S_n，已知對任意n∈N^*，2

Sn

是a_n+2 和a_n的等比中項．
（Ⅰ）證明數列{a_n}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（Ⅲ）設集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對滿足n＞m 的一切正整數n，不等式2S_n-4200＞

an2

2

恒成立，求這樣的正整數m共有多少個？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由4Sn=an2+2an，且a_n＞0． td 當n=1時，4a1=a12+2a₁，解得a₁=2．當n≥2時，有4S_n-1=an-12+2an-1．于是4an=an2-an-12+2an-2an-1．故（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．由此能證明數列{a_n}是首項為2，公差為2的等差數列，且a_n=2n．
（Ⅱ）因為a_n=2n，則

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此能夠證明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1．
（Ⅲ）由2Sn-4200＞

an2

2

，得2n（n+1）-4200＞2n²，所以n＞2100．故M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．由此能夠求出集合M中滿足條件的正整數m的個數．

解答：解：（Ⅰ）由已知，4Sn=an2+2an，且a_n＞0． …（1分）
當n=1時，4a1=a12+2a₁，解得a₁=2．    …（2分）
當n≥2時，有4S_n-1=an-12+2an-1．
于是4S_n-4S_n-1=an2-an-12+2an-2an-1，
即4an=an2-an-12+2an-2an-1．
于是an2-an-12=2an+2an-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．
因為a_n+a_n-1＞0，
所以a_n-a_n-1=2，n≥2．
故數列{a_n}是首項為2，公差為2的等差數列，且a_n=2n．…（4分）
（Ⅱ）證明：因為a_n=2n，
則

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（5分）
所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

＜1．…（7分）
（Ⅲ）由2Sn-4200＞

an2

2

，
得2n（n+1）-4200＞2n²，所以n＞2100．  …（9分）
由題設，M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．
因為m∈M，所以m=2100，2102，…，2998均滿足條件．…（10分）
且這些數組成首項為2100，公差為2的等差數列．
設這個等差數列共有k項，
則2100+2（k-1）=2998，解得k=450．
故集合M中滿足條件的正整數m共有450個． …（12分）

點評：本題考查等差數列的證明，數列通項公式的求法，證明證明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1和求集合中元素的個數．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意裂項求和法的合理運用．