Question

【題目】已知曲線是中心在原點，焦點在軸上的雙曲線的右支，它的離心率剛好是其對應雙曲線的實軸長，且一條漸近線方程是，線段是過曲線右焦點的一條弦，是弦的中點。

（1）求曲線的方程；

（2）求點到軸距離的最小值；

（3）若作出直線，使點在直線上的射影滿足.當點在曲線上運動時，求的取值范圍.

（參考公式：若為雙曲線右支上的點，為右焦點，則.（為離心率））

Answer 1

【答案】（1）； （2）點到軸距離的最小值為；（3）.

【解析】

（1）根據已知設雙曲線的右支方程，離心率剛好是其對應雙曲線的實軸長，可以得到的關系，一條漸近線方程是，可以得到的關系，而，三個等式聯立，可以求出的值，最后求出雙曲線的右支方程，別忘記寫上的取值范圍。

（2）根據斜率是否存在進行分類討論：當存在斜率時，設出直線方程與雙曲線右支方程聯立，求出滿足條件的斜率取值范圍，根據一元二次方程根與系數的關系求出點的橫坐標的大小，求出點到軸距離的取值范圍。當不存在斜率時，求出點到軸距離，綜合兩種情形得出結論。

（3）由可以得到，這樣可以求出與的關系，由焦半徑公式可以求出，兩個式子聯立，可以求出點的橫坐標，利用（2）的結論，可以求出的取值范圍。

（1）設，離心率剛好是其對應雙曲線的實軸長，所以有①，一條漸近線方程是所以有②，而③，三個方程聯立，可求出，所以曲線的方程是：

（2）由（1）知，曲線的右焦點的坐標為，若弦的斜率存在，

則弦的方程為：，代入雙曲線方程得：

.

設點， ，

由，解得：，點到軸距離：

而當弦的斜率不存在時，點到軸距離。

所以點到軸距離的最小值為.

（3）點在直線上的射影滿足，

，到直線的距離……①

由焦半徑公式

……②

將②代入①，得：

，， .