Question

①求函數y=

3 x-1

|x+1|+|x-1|

的定義域；
②求函數y=x+

1-2x

的值域；
③求函數y=

2x2-2x+3

x2-x+1

的值域．

Answer 1

分析：①函數是一個分式函數，分母不為零即可，考查分母即可得出定義域；
②由于函數是一個根式函數，可令

1-2x

=t進行換元，將根式函數變為二次函數，利用二次函數性質求值域；
③由函數的形式，可等式兩邊同乘以分母，將函數值y看作常數，由此可轉化出一元二次方程，此方程有根，其判別式大于等于0，由此即可得到關于y的不等式，解不等式即可得到函數的值域．

解答：解：①．因為|x+1|+|x-1|的函數值一定大于0，且x-1無論取什么數三次方根一定有意義，故其值域為R；
②．令

1-2x

=t，t≥0，x=

1

2

(1-t2)，原式等于

1

2

(1-t2)+t=-

1

2

(t-1)2+1，故y≤1．
③．把原式化為以x為未知數的方程（y-2）x²-（y-2）x+y-3=0，
當y≠2時，△=（y-2）²-4（y-2）（y-3）≥0，得2＜y≤

10

3

；
當y=2時，方程無解；所以函數的值域為(2，

10

3

]．

點評：本題考查函數的定義域與值域，解答的關鍵是掌握住定義域時常用的一些限制條件如分母不為零、偶次根號下非負等，第二小題求值域用到了換元法，將求函數值域的問題轉化為常見函數的值域，降低了題目難度，第三題用到了判別式法求值域，這是二次型分式常用的求值域的技巧，要注意總結其使用的規則．