Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中點．
（1）求AC₁與平面B₁BCC₁所成角的正切值；
（2）求證：AC₁∥平面B₁DC；
（3）已知E是A₁B₁的中點，點P為一動點，記PB₁=x．點P從E出發，沿著三棱柱的棱，按照E→A₁→A的路線運動到點A，求這一過程中三棱錐P-BCC₁的體積表達式V（x）．

Answer 1

分析：（1）由直三棱柱的性質證明∠AC₁B為AC₁與平面B₁BCC₁所成角，在直角三角形中求出此角的正切值．
（2）設B₁C的中點為F，由三角形中位線的性質可得，DF∥AC₁，從而證明AC₁∥平面B₁DC．
（3）設PB₁=x，△BCC₁的面積的值易求，當點P從E點出發到A₁點時，找出棱錐的高，計算體積；當點P從A₁點運動到A點，找出棱錐的高，計算體積．

解答：解：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁B⊥面ABC，
∴B₁B⊥AB．又∵AB⊥BC，∴AB⊥面BCC₁B₁．（2分）
連接BC₁，則∠AC₁B為AC₁與平面B₁BCC₁所成角．（3分）
依題設知，BC₁=2

2

，在Rt△ABC₁中，tan∠AC1B=

AB

BC1

=

2

2 2

=

2

2

.（5分）
（2）如圖，連接DF，在△ABC₁中，∵D、F分別為AB、BC₁，
的中點，

∴DF∥AC₁，又∵DF?平面B₁DC，AC₁?平面B₁DC，
∴AC₁∥平面B₁DC．（10分）
（3）PB₁=x，S△BCC1=2.
當點P從E點出發到A₁點，即x∈[1，2]時，由（1）同理可證PB₁⊥面BB₁C₁C，
∴VP-BCC1=

1

3

s△BCC1×PB1=

2x

3

.
當點P從A₁點運動到A點，即x∈[2，2

2

]時，
VP-BCC1=

1

3

S△BCC1×AB=

4

3

．
∴三棱錐P-BCC₁的體積表達式V(x)=

2x 3 ，x∈[1，2] 4 3 ，x[2，2 2 ].

（14分）

點評：本題考查線與面成的角、線面平行的性質，椎體體積的求法，體現分類討論的數學思想．