Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（ x₁）＞f（ x₂）成立．設數列{a_n}的前n項和 S_n=f（n）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求數列{ a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，知△=a²-4a=0，解得a=0或a=4．由此能求出f（x）的表達式．
（2）由（1）知S_n=n²-4n+4=（n-2）²，由此能求出數列{ a_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，
∴△=a²-4a=0，解得a=0或a=4．
當a=0時，函數f（x）=x²在（0，+∞）上遞增，不滿足條件②；
當a=4時，函數f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，滿足條件②．
綜上得a=4，即f（x）=x²-4x+4．
（2）由（1）知S_n=n²-4n+4=（n-2）²，
當n=1時，a₁=S₁=1；
當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5．
∴an=

1，n=1 2n-5，n≥2

．

點評：本題考查函數f（x）的表達式的求法和求數列{ a_n}的通項公式．解題時要認真審題，仔細解答．