Question

已知點M在橢圓上， 以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F。
（1）若圓M與y軸相切，求橢圓的離心率；
（2）若圓M與軸相交于A，B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程。

Answer 1

解：（1）設，圓M的半徑為r，依題意得

將代入橢圓方程為
所以
又
從而得
兩邊除以a²得：
解得：
因為
所以。
（2）因為是邊長為2的正三角形，所以圓M的半徑r=2，
圓M到y軸的距離
又由（1）知：，
所以，
又因為
解得，
所求橢圓方程是：。