Question

【題目】已知數列{an}、{bn}滿足：a1= ，an+bn=1，bn+1= ．
（1）求a2 ， a3；
（2）證數列{ }為等差數列，并求數列{an}和{bn}的通項公式；
（3）設Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1 ， 求實數λ為何值時4λSn＜bn恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴ ， ，

， ， ．

∴

（2）證明：由 ，

∴ = ，

∴ ，即an﹣an+1=anan+1，

∴ =1

∴數列{ }是以4為首項，1為公差的等差數列．

∴ ，則 ，

∴

（3）解：由 ，

∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1

=

=

= ．

∴ ，

要使4λSn＜bn恒成立，只需（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＜0恒成立，

設f（n）=（λ﹣1）n2+3（λ﹣2）n﹣8

當λ=1時，f（n）=﹣3n﹣8＜0恒成立，

當λ＞1時，由二次函數的性質知f（n）不滿足對于任意n∈N*恒成立，

當λ＜l時，對稱軸n=

f（n）在[1，+∞）為單調遞減函數．

只需f（1）=（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8=（λ﹣1）+（3λ﹣6）﹣8=4λ﹣15＜0

∴ ，∴λ≤1時4λSn＜bn恒成立．

綜上知：λ≤1時，4λSn＜bn恒成立

【解析】（1）由給出的 ，循環代入an+bn=1和 可求解a2 ， a3；（2）由an+bn=1得an+1+bn+1=1，結合 ，去掉bn與bn+1得到an+1與an的關系式，整理變形后可證得數列{ }是以4為首項，1為公差的等差數列，求出其通項公式后即可求得數列{an}和{ bn}的通項公式；（3）首先利用裂項求和求出Sn ， 代入4λSn＜bn ， 通過對λ分類討論，結合二次函數的最值求使4λSn＜bn恒成立的實數λ的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等差數列的通項公式（及其變式）和等比數列的通項公式（及其變式）的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握通項公式：或；通項公式：．