Question

【題目】已知點(diǎn)P到圓（x+2）2+y2=1的切線(xiàn)長(zhǎng)與到y軸的距離之比為t（t＞0，t≠1）；

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，將軌跡C的圖形沿著x軸向左移動(dòng)1個(gè)單位，得到曲線(xiàn)G，過(guò)曲線(xiàn)G上一點(diǎn)Q作兩條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別是P1和P2，求的值；

（3）設(shè)曲線(xiàn)C的兩焦點(diǎn)為F1，F2，求t的取值范圍，使得曲線(xiàn)C上不存在點(diǎn)Q，使∠F1QF2=θ（0＜θ＜π）.

Answer 1

【答案】（1）（1﹣t2）x2+y2+4x+3=0（2）（3）0＜t＜

【解析】

（1）設(shè)P（x，y），則P到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)為，利用勾股定理列方程化簡(jiǎn)即可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）當(dāng)t時(shí)，軌跡C的方程化為：．可得曲線(xiàn)G的方程為．可得曲線(xiàn)G的漸近線(xiàn)方程為yx，yx．設(shè)Q（x0，y0），P1（m，m），P2（n，n），，．可得m，n．又y02＝2x02﹣5，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出；

（3）對(duì)曲線(xiàn)C得類(lèi)型進(jìn)行討論，得出∠F1QF2的最大值，利用三角恒等變換列不等式解出t的范圍．

解：（1）圓（x+2）2+y2＝1的圓心為M（﹣2，0），半徑r＝1，

設(shè)P（x，y），則P到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)為，

∴t|x|，

∴（x+2）2+y2﹣1＝t2x2，

整理得（1﹣t2）x2+y2+4x+3＝0．

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為：（1﹣t2）x2+y2+4x+3＝0．

（2）當(dāng)t時(shí)，軌跡C的方程為﹣2x2+4x+3+y2＝0，即．

∴曲線(xiàn)G的方程為．

∴曲線(xiàn)G的漸近線(xiàn)方程為yx，yx．

設(shè)Q（x0，y0），P1（m，m），P2（n，n），

∴，．

∴m，n，

∵，∴y02＝2x02﹣5，

∴（m﹣x0）（n﹣x0）+（m﹣y0）（n﹣y0）＝（m﹣x0）（n﹣x0）（x0﹣m）（x0﹣n）

（m﹣x0）（n﹣x0），

．

（3）曲線(xiàn)C的方程可化為（1﹣t2）（x）2+y23，

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，曲線(xiàn)C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1

∴當(dāng)Q為短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1QF2取得最大值，設(shè)∠F1QF2的最大值為α，則tan2，

∴cosα1﹣2t2，

若曲線(xiàn)C上不存在點(diǎn)Q，使∠F1QF2＝θ，則θ＞α，

∴cosθ＜1﹣2t2，解得0＜t．

當(dāng)t＞1時(shí)，曲線(xiàn)C為焦點(diǎn)在x軸的雙曲線(xiàn)，∴0＜∠F1QF2≤π，

∴當(dāng)0＜θ＜π時(shí)，曲線(xiàn)C上始終存在的Q使得∠F1QF2＝θ．

綜上，當(dāng)0＜t時(shí)，曲線(xiàn)C上不存在點(diǎn)Q，使∠F1QF2＝θ．