Question

已知圓C上一點A（2，3），直線2x+y=0平分圓C，且圓C與直線x-y+1=0相交的弦長為，求圓C的方程．

Answer 1

解：設圓的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²
∵直線2x+y=0平分圓，
則：圓心在直線2x+y=0上，則2a+b=0?b=-2a（2分）
又直線x-y+1=0與圓相交所得的弦長為，
由圓的幾何性質可得：圓心到該直線的距離為（2分）
即：（2分）
∴該圓的方程為，
把A的坐標（2，3）代入圓的方程得：a²+10a+21=0，
解得：a=-3或a=-7，
∴圓的方程為：（x+3）²+（y-6）²=34或（x+7）²+（y-14）²=202．
分析：由圓心為（a，b），半徑為r，設出圓的標準方程，由直線2x+y=0平分圓C得到圓心C在直線上，把圓心的坐標代入已知直線方程用a表示出b，然后根據圓C與直線x-y+1=0相交的弦長，根據垂徑定理及勾股定理，由圓的半徑r及弦長的一半表示出圓心到直線x-y+1=0的距離，利用點到直線的距離公式，表示出圓心到直線x-y+1=0的距離，兩者相等，用a表示出r，將表示出的b和半徑r代入圓的方程消去b和r，再把A的坐標代入圓的方程，即可求出a的值，從而確定出圓的方程．
點評：此題考查了直線與圓相交的性質，垂徑定理、勾股定理及圓的對稱性，點到直線的距離公式，要求學生綜合圓的幾何性質來解決問題，解答此類題常常利用待定系數法來求出圓的標準方程，同時在解答時注意消去參數b和r．