Question

已知圓C上一點(diǎn)A（2，3），直線2x+y=0平分圓C，且圓C與直線x-y+1=0相交的弦長(zhǎng)為，求圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：由圓心為（a，b），半徑為r，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由直線2x+y=0平分圓C得到圓心C在直線上，把圓心的坐標(biāo)代入已知直線方程用a表示出b，然后根據(jù)圓C與直線x-y+1=0相交的弦長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理及勾股定理，由圓的半徑r及弦長(zhǎng)的一半表示出圓心到直線x-y+1=0的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式，表示出圓心到直線x-y+1=0的距離，兩者相等，用a表示出r，將表示出的b和半徑r代入圓的方程消去b和r，再把A的坐標(biāo)代入圓的方程，即可求出a的值，從而確定出圓的方程．
解答：解：設(shè)圓的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²
∵直線2x+y=0平分圓，
則：圓心在直線2x+y=0上，則2a+b=0⇒b=-2a（2分）
又直線x-y+1=0與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，
由圓的幾何性質(zhì)可得：圓心到該直線的距離為（2分）
即：（2分）
∴該圓的方程為，
把A的坐標(biāo)（2，3）代入圓的方程得：a²+10a+21=0，
解得：a=-3或a=-7，
∴圓的方程為：（x+3）²+（y-6）²=34或（x+7）²+（y-14）²=202．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，垂徑定理、勾股定理及圓的對(duì)稱性，點(diǎn)到直線的距離公式，要求學(xué)生綜合圓的幾何性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，解答此類題常常利用待定系數(shù)法來(lái)求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)在解答時(shí)注意消去參數(shù)b和r．