Question

如圖,已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長都是2,底面正方形兩條對角線相交于O點,M是側棱PC的中點.

(1)求此正四棱錐的體積.
(2)求直線BM與側面PAB所成角θ的正弦值.

Answer 1

(1)   (2)

(1)由題可得,PO⊥底面ABCD.
在Rt△AOP中,
∵AO=AC=,AP=2,
∴PO===.
故V_P-ABCD=·S_底·PO=×4×=.
(2)由(1)知PO⊥底面ABCD,且OA⊥OB,以O點為原點,OA,OB,OP所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則各點的坐標為A(,0,0),B(0,,0),P(0,0,),M(-,0,),
∴=(,,-),=(-,,0),
=(-,0,).
設平面ABP的一個法向量為n=(x,y,z),
則有即
取x=1,則y=1,z=1,
∴n=(1,1,1),
∴sinθ=cos(90°-θ)===.