Question

【題目】設分別是橢圓的左、右焦點．

(1)若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；

(2)設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且為銳角(其中為坐標原點)，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）.

【解析】

(1)設出點P的坐標，向量坐標化得到的表達式，進而得到最值；（2）為銳角即，設出點AB的坐標，向量坐標化得到點積的表達式為：x1x2＋y1y2,聯立直線和橢圓方程，由韋達定理得到結果.

(1)由已知得，F1(－，0)，F2(，0)，設點P(x，y)，

則＋y2＝1，且－2≤x≤2．

所以·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－＝x2－2，

當x＝0，即P(0，±1)時，(·)min＝－2；

當x＝±2，即P(±2，0)時，(·)max＝1．

(2)由題意可知，過點M(0，2)的直線l的斜率存在．

設l的方程為y＝kx＋2，

由消去y，化簡整理得

(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＞0，解得k2>．

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝，

又∠AOB為銳角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，

有x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4

＝(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，解得k2＜4，

所以＜k2＜4，即k∈．