Question

【題目】(2015·湖北）一種作圖工具如圖1所示．O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子D在滑槽AB內作往復運動時，帶動N繞O轉動一周（D不動時，N也不動），M處的筆尖畫出的曲線記為C．以O為原點，AB所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．
（1）求曲線C的方程；
（2）設動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與曲線C有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

曲線C的方程為。

（2）

的最小值為8.

【解析】1.
設點,依題意，

,且所以,且,即且.由于當點D不動時，點N也不動，所以t不恒等于0，于是,故,代入,可得,即所求的曲線C的方程為。
2.
（1）當直線的斜率不存在時，直線為或，都有.
(2)當直線的斜率存在時，設直線,由消去,可得.因為直線總與橢圓C有且只有一個公共點，所以,即. ①又由可得;同理可得
.由原點O到直線的距離為和,可得.② 將①代入②得。當時，;當時，.因，則 ,,所以,當且僅當時取等號，所以當時,的最小值為8.

【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．