Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）上任意一點到兩焦點距離之和為 ，離心率為 ，左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 點P是右準線上任意一點，過F2作直線PF2的垂線F2Q交橢圓于Q點．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；
（3）證明：直線PQ與橢圓E只有一個公共點．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 ，解得 ，c=1，

所以橢圓E： ．

（2）解：由（1）可知：橢圓的右準線方程為 ，

設P（3，y0），Q（x1，y1），

因為PF2⊥F2Q，所以 ，

所以﹣y1y0=2（x1﹣1）

又因為 且 代入化簡得 ．

即直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值

（3）解：由（2）知， ， ，

∴ ．

∴直線PQ的方程為 ，即 ，

聯立 得 ，

∵ ， ．

∴化簡得： ，又△=0，

解得x=x1，所以直線PQ與橢圓C相切，只有一個交點

【解析】（1）由題意可得 ，解出即可；（2）由（1）可知：橢圓的右準線方程為 ，設P（3，y0），Q（x1 ， y1），由PF2⊥F2Q，可得 ，利用斜率計算公式可得kPQkOQ及 代入化簡得直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值．（3）由（2）知，直線PQ的方程為 ，即 ，與橢圓的方程聯立，消去一個未知數得到關于x的一元二次方程，只要證明△=0即可．
【考點精析】關于本題考查的直線的斜率和橢圓的標準方程，需要了解一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．