Question

（本小題滿分12分）
已知：如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，且，為中點．

（1）證明：//平面；
（2）證明：平面平面；
（3）求二面角的正弦值．

Answer 1

(1) 結交于點，連結，那么根據中位線性質可知// ，那么結合線面平行的判定定理來得到。
(2)建立空間直角坐標系，然后結合空間向量的平面的法向量，借助于法向量的垂直來證明面面垂直。
(3)

試題分析：解：（1）

證明：連結交于點，連結                 ……………………1分
為中點，為中點，
//                                           ……………………2分
平面，平面，        ………3分
∴ //平面．                       
（2）證明：
⊥平面        
平面，
．                          …………4分
又在正方形中且， …5分
∴平面．                                 ……………………6分
又平面，
∴平面平面．                            ……………………7分
（3）如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空
間直角坐標系．

由可知的坐標分別為
（0, 0, 0）, （2, 0, 0）,（2, 2, 0）,
（0, 2, 0）, （0, 0, 2）, （0, 1, 1） ．………9分
平面，∴是平面的法向量，=（0, 0, 2）．
設平面的法向量為
, ,
則 即                       
∴ 
∴ 令,則．                            ………………11分
∴,           
二面角的正弦值為                      …………………12分
點評：解決證明試題，一般要運用線面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，來分析得到，而對于求解二面角一般可以運用定義法，或者是三垂線定理法，以及向量法來表示得到，屬于中檔題。