Question

【題目】過橢圓W：的左焦點F1作直線l1交橢圓于A，B兩點，其中A(0，1)，另一條過F1的直線l2交橢圓于C，D兩點（不與A，B重合），且D點不與點0，﹣1重合．過F1作x軸的垂線分別交直線AD，BC于E，G．

（1）求B點坐標和直線l1的方程；

（2）比較線段EF1和線段GF1的長度關系并給出證明．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）由題意得橢圓的左焦點，根據兩點式可得直線的方程，然后通過解方程組可得點坐標．（2）當與軸垂直時易得．當不與軸垂直時，設的方程為，與橢圓方程聯立消元后可得，，求出直線的方程后可得點的縱坐標和點G的縱坐標，計算可得，于是．

（1）由題意可得橢圓的左焦點，

所以直線的方程為，即．

由，解得或，

所以點．

（2）①當與軸垂直時，，兩點與，兩點重合，由橢圓的對稱性，．

②當不與軸垂直時，設的方程為，

由消去整理得，

顯然．

設，，則，．

由已知得，

所以直線的方程為，

令，得點的縱坐標，

把代入上式得．

由已知得，

所以直線BC的方程為，

令，得點G的縱坐標．

把代入上式得．

所以

，

又，

即，

即．