Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，求的面積S的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)直線與圓相切可得，再根據(jù)離心率得，（2）設(shè)動(dòng)直線方程，并聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式得，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得三角形的高，代入三角形面積公式得，最后結(jié)合基本不等式求取值范圍.

（1）由離心率為,

因?yàn)闄E圓C的長(zhǎng)軸為直徑的圓與直線相切，

所以,

即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)動(dòng)直線方程為，點(diǎn),且，

聯(lián)立直線和橢圓方程，

消元得，

則，

因?yàn)樵�點(diǎn)到直線距離為，

則的面積，

令，則,

又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則，

即的面積S的取值范圍為.