Question

【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a2+2a4＝a9，S6＝36．

（1）求an，Sn；

（2）若數列{bn}滿足b1＝1，，求證：（n∈N*）．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n﹣1，Sn＝n2（2）證明見解析

【解析】

（1）設等差數列的公差為，運用等差數列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，再結合等差數列的通項公式和求和公式，即可求解；

（2）討論，將換為，相減得到，再由數列的裂項相消求和及不等式的性質，即可求解．

（1）設等差數列{an}的公差設為d，前n項和為Sn，且a2+2a4＝a9，S6＝36，

可得a1+d+2（a1+3d）＝a1+8d，即2a1＝d，

又6a1+15d＝36，即2a1+5d＝12，

解得a1＝1，d＝2，則an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，Sn＝n+n（n﹣1）＝n2；

（2）證明：數列{bn}滿足b1＝1，n，

當n＝1時，b1b2＝1，可得b2＝1，

n≥2時，bnbn﹣1＝n﹣1，

相減可得bn（bn+1﹣bn﹣1）＝1，即bn+1﹣bn﹣1，

當n≥2時，b3﹣b1+b4﹣b2+b5﹣b3+…+bn+1﹣bn﹣1

b1﹣b2+bn+bn+1≥﹣1+221；

當n＝1時，1＝21，不等式成立，

綜上可得，（n∈N*）．