Question

【題目】如圖，已知圓的半徑為，,是圓上的一個動點，的中垂線交于點，以直線為軸，的中垂線為軸建立平面直角坐標系。

（Ⅰ）若點的軌跡為曲線，求曲線的方程；

（Ⅱ）設點為圓上任意一點，過作圓的切線與曲線交于兩點，證明：以為直徑的圓經過定點，并求出該定點的坐標。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據中垂線性質得出：，從而知點軌跡是橢圓，由橢圓標準方程可得．

（Ⅱ）當切線斜率不存在時，可得兩圓，它們的交點為原點，接著證明其它的圓都過原點即可，即證，也即證，為此可設直線方程為，由直線與圓相切得關系式，設，由直線方程與橢圓方程聯立化簡可得，計算可得結論．

（Ⅰ）因為是線段中垂線上的點，所以

所以：

所以：點的軌跡是以為焦點的橢圓

于是：，于是

所以：曲線的方程是

（Ⅱ）當直線斜率不存在時，

取,則,此時圓的方程是

取，則，此時圓的方程是

兩圓相交于原點，下面證明原點滿足題目條件，即證：

當直線斜率不存在時，設直線方程為

因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，即①

由可得：

設，則

于是：

所以：

將①代入可得：

綜上所述：以為直徑的圓經過定點