【題目】已知函數(shù)
.
（I）求函數(shù)
的單調區(qū)間；
（II）若
在
上恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（III）在（II）的條件下，對任意的
，求證：
.
【答案】（I）當
時，
在
上單調遞增，無單調遞減區(qū)間，當
時，的單調遞增區(qū)間為
，單調遞減區(qū)間為
；（II）
；(III)證明見解析.
【解析】試題分析：（I）利用
時
為單調增函數(shù)，
時為單調減函數(shù)這一性質來分情況討論題中單調區(qū)間問題；（II）根據(jù)函數(shù)單調性與最值，若
在
上恒成立，則函數(shù)的最大值小于或等于零.當
時，在
上單調遞增，
，說明
時
，不合題意舍去.當
時，的最大值小于零.但
在上恒成立，所以
只能等于零.令
即可求得答案；（III）首先將
的表達式表達出來，化簡轉化為
的形式，再根據(jù)（II）的結論得到
，后逐步化簡
，原命題得證.
試題解析：（I）
，
當時，
恒成立，則函數(shù)在上單調遞增，無單調遞減區(qū)間；
當時，由
，得
，由
，
得
，此時的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.
（II）由（I）知：當時，在上遞增，
，顯然不成立；
當時，
，只需
即可，
令
，則
，
在
上單調遞減，在
上單調遞增.
.
對恒成立，也就是
對
恒成立，
，解得，
若
在上恒成立，則.
(III)證明：
，
由（II）得在上恒成立，即
，當且僅當
時取等號，
又由
得
，所以有
，即
.
則
，
則原不等式
成立. ………（12分）
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知三棱錐P—ABC中，PC
底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點，DEAP于E。（1）求證：AP平面BDE；（2）求證：平面BDE平面BDF；（3）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P—ABC所成上、下兩部分的體積比。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】（1）已知函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，且當x＞0時，f(x)＝2x－1，求函數(shù)f(x)的解析式．
（2）已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求
的值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：
年齡（歲） | 19 | 24 | 26 | 30 | 34 | 35 | 40 | 合計 |
工人數(shù)（人） | 1 | 3 | 3 | 5 | 4 | 3 | 1 | 20 |
（1）求這20名工人年齡的眾數(shù)與平均數(shù)；
（2）以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；
（3）從年齡在24和26的工人中隨機抽取2人，求這2人均是24歲的概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某校高三一次月考之后，為了為解數(shù)學學科的學習情況，現(xiàn)從中隨機抽出若干名學生此次的數(shù)學成績，按成績分組，制成了下面頻率分布表：
組號 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第一組 |
| 5 | 0.05 |
第二組 |
| 35 | 0.35 |
第三組 |
| 30 | 0.30 |
第四組 |
| 20 | 0.20 |
第五組 |
| 10 | 0.10 |
合計 | 100 | 1.00 | |
（1）試估計該校高三學生本次月考的平均分；
（2）如果把表中的頻率近似地看作每個學生在這次考試中取得相應成績的概率，那么從所有學生中采用逐個抽取的方法任意抽取3名學生的成績，并記成績落在
中的學生數(shù)為
，
求：①在三次抽取過程中至少有兩次連續(xù)抽中成績在中的概率；
②
的分布列和數(shù)學期望．（注：本小題結果用分數(shù)表示）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|1≤2x＋5≤15}．
(1)已知a＝3，求(RP)∩Q；
(2)若P∪Q＝Q，求實數(shù)a的取值范圍．
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