Question

設A是數集，且滿足條件：若a∈A，a≠1，則．求證：

　　(1)若2∈A，則A中必還有另外兩個元素．

　　(2)集合A不可能是單元素集．

　　(3)集合A中至少有三個不同元素．

Answer 1

答案：
解析：

證明：所考知識點是集合中元素的性質．由a∈A，a≠1，則∈A． 　　(1)若2∈A，則=-1∈A，于是∈A，故集合A中還有-1、兩個元素． 　　(2)若A為單元素集，則a= 　　即方程a2-a+1=0無實數解，∴　a≠ 　　∴　a與都為集合A的元素，則A不是單元素集． 　　(3)由已知，a∈A 　　現只需證明：a、、三數互不相等． 　　若，方程無解． 　　∴　a≠， 　　若，方程無解 　　∴　a≠， 　　若，方程無解． 　　∴　，故集合A中至少有三個元素． 　　說明：解此題的關鍵在于會應用集合中元素的互異性．由已知a∈A，則，即，即a∈A，這樣循環反復．因此說明a、、互不相等．