Question

已知定義在實數集R上的奇函數f（x）有最小正周期2，且當x∈（0，1）時，f(x)=

2x

4x+1

．
（Ⅰ）求函數f（x）在（-1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，1）上的單調性；
（Ⅲ）當λ取何值時，方程f（x）=λ在（-1，1）上有實數解？

Answer 1

分析：（I）由f（x）是x∈R上的奇函數，得f（0）=0．再由最小正周期為2，得到（1）和f（-1）的值．然后求（-1，0）上的解析式，通過在（-1，0）上取變量，轉化到（0，1）上，應用其解析式求解．
（II）用定義，先任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號．
（III）根據題意，求得f（x）在（-1，1）上的值域即可．

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）是x∈R上的奇函數，∴f（0）=0．---------（1分）
設x∈（-1，0），則-x∈（0，1），
f(-x)=

2-x

1+4-x

=

2x

1+4x

=-f（x）
∴f(x)= -

2x

1+4x

---------（2分）
∴f(x)=

- 2x 1+4x ，x∈(-1，0) 0，x=0 2x 1+4x ，x∈(0，1)

---------（3分）
（Ⅱ）證明：設0＜x₁＜x₂＜1，
則f(x1)-f(x2)=

(2x1-2x2)+(2x1+2x2-2x2+2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1-2x2)(1-2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

，------（4分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴2x1＜2x2，2x1+x2＞20=1，---------（5分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在（0，1）上為減函數．---------（6分）
（Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上為減函數，
∴f（1）＜f（x）＜f（0）即

2

5

＜f(x)＜

1

2

---------（7分）
同理，f（x）在（-1，0）上時，f（x）∈(-

1

2

，-

2

5

)---------（8分）
又f（0）=0
當λ∈(-

1

2

，-

2

5

)或(

2

5

，

1

2

)或λ=0時方程f（x）=λ在（-1，1）上有實數解．-----------------（10分）

點評：本題主要考查如何利用求對稱區間上的解析式，特別注意端點問題，還考查了用定義證明單調性求分段函數值域問題．