Question

已知定義在實數集R上的奇函數f（x），當x＞0時，f（x）的圖象是拋物線的一部分，且該拋物線經過點（1，0）、（3，0）和（0，3）．
（1）求出f（x）的解析式；
（2）寫出f（x）的單調區間；
（3）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|y=t，x∈R，t∈R}，若A∩B有4個元素，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數的零點式，結合圖中三個已知點的坐標求出：當x＞0時，f（x）=x²-4x+3．再根據函數為奇函數，解出x＜0和x=0時的表達式，即可得到f（x）的解析式；
（2）由函數單調區間的定義，結合函數的圖象即可寫出f（x）的單調區間；
（3）作出直線y=t并進行平移，觀察它與函數y=f（x）的圖象公共點的個數，并結合計算函數的極值即可得出滿足條件的實數t的取值范圍．

解答：解：（1）根據題意，可得
∵當x＞0時，拋物線經過點（1，0）、（3，0），
∴設函數解析式為f（x）=a（x-1）（x-3），（a≠0），
由點（0，3）在拋物線上，得
f（0）=a×（-1）×（-3）=3a=3，解之得a=1．．
∴當x＞0時，f（x）=x²-4x+3；
當x＜0時，則-x＞0，可得f（-x）=（-x）²-4（-x）+3=x²+4x+3，
∵f（x）是奇函數，∴當x＞0時，f（x）=-f（-x）=-x²-4x-3，
結合當x=0時，f（0）=0，可得f(x)=

x2-4x+3，x＞0 0，x=0 -x2-4x-3，x＜0

．
（2）由函數的圖象，可得函數的單調增區間為（-∞，-2]和[2，+∞）；函數的單調減區間為[-2，0）和（0，2]．
（3）由A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|y=t，x∈R，t∈R}，
可得A∩B的元素的個數，即為直線y=t與函數y=f（x）圖象公共點的個數．
∵當x＞0時，f（x）=x²-4x+3在x=2時有最小值-1；當x＞0時，f（x）=-x²-4x-3在x=-2時有最大值1
∴根據函數y=f（x）的圖象，平移直線y=t可得
①當t＞1或t＜-1時，直線y=t與函數圖象有2個公共點；
②當t=±1時，直線y=t與函數圖象有3個公共點；
③當t=0時，直線y=t與函數圖象有5個公共點；
④當-1＜t＜1且t≠0時，直線y=t與函數圖象有4個公共點
由此可得滿足A∩B有4個元素的實數t的取值范圍為（-1，0）∪（0，1）．

點評：本題給出奇函數在x＞0時的圖象，求函數的表達式并討論函數的單調性．著重考查了函數的奇偶性、單調性和函數解析式的求法等知識，屬于中檔題．