Question

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)焦點(diǎn)和橢圓的定義求得c和a，進(jìn)而求得b，則橢圓的方程可得．
（2）先假設(shè)直線存在，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)判別式大于0求得t的范圍，進(jìn)而根據(jù)直線OA與l的距離求得t，最后驗(yàn)證t不符合題意，則結(jié)論可得．

解答：解：（1）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），且可知左焦點(diǎn)為
F（-2，0），從而有

c=2 2a=|AF|+|AF′|=8

，解得c=2，a=4，
又a²=b²+c²，所以b²=12，故橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=

3

2

x+t，
由

y= 3 2 x+t x2 16 + y2 12 =1

得3x²+3tx+t²-12=0，
因?yàn)橹本�l與橢圓有公共點(diǎn)，所以有△=（3t）²-4×3（t²-12）≥0，解得-4

3

≤t≤4

3

，
另一方面，由直線OA與l的距離4=

|t|

9 4 +1

，從而t=±2

13

，
由于±2

13

∉[-4

3

，4

3

]，所以符合題意的直線l不存在．

點(diǎn)評：本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．