Question

已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A（2，3），且點F（2，0）為其右焦點，
（ I）求橢圓C的方程；
（ I I）問是否存在直線l：y=

3

2

x+t，使直線l與橢圓C有公共點，且原點到直線l的距離為4？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用題設條件，根據焦點和橢圓的定義求得c和a，進而求得b，由此能求出橢圓的方程．
（2）先假設直線存在，設出直線方程與橢圓方程聯立消去y，再根據判別式大于0求得t的范圍，再利用直線OA與l的距離求得t，最后驗證t不符合題意，則結論可得．

解答：解：（1）∵中心在坐標原點O的橢圓C經過點A（2，3），且點F（2，0）為其右焦點，
∴c=2，左焦點F′（-2，0），
∴2a=|AF|+|AF′|=

(2+2)2+32

+

(2-2)2+32

=8，
解得c=2，a=4，
又a²=b²+c²，所以b²=12，故橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）假設存在符合題意的直線l，設其方程為y=

3

2

x+t，
由

x2 16 + y2 12 =1 y= 3 2 x+t

，得3x²+3tx+t²-12=0，
∵直線l與橢圓有公共點，∴△=（3t）²-4×3（t²-12）≥0，
解得-4

3

≤t≤4

3

，
∵直線OA與l的距離4=

|t|

9 4 +1

，從而t=±2

13

，
由于±2

13

∉[-4

3

，4

3

]，
所以符合題意的直線l不存在．

點評：本題考查橢圓方程的求法，判斷滿足條件的求線是否存在．具體涉及到直線、橢圓等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想．