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已知x₁是方程x+lgx=3的根，x₂是方程x+10^x=3的根，則x₁+x₂值為．

【答案】分析：第一個方程：lgx=3-x．第二個方程，10^x=3-x，lg（3-x）=x．注意第二個方程，如果做變量代換y=3-x，則lgy=3-y，其實是與第一個方程一樣的．那么，如果x₁，x₂是兩個方程的解，則必有x₁=3-x₂，也就是說，x₁+x₂=3．
解答：解：∵x+lgx=3，∴lgx=3-x．
∵x+10^x=3，∴10^x=3-x，
∴lg（3-x）=x．如果做變量代換y=3-x，則lgy=3-y，
∵x₁是方程x+lgx=3的根，x₂是方程x+10^x=3的根，
∴x₁=3-x₂，∴x₁+x₂=3．
答案：3．
點評：本題考查對數函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x²-ax+4+2lnx
（I）當a=5時，求f（x）的單調遞減函數；
（Ⅱ）設直線l是曲線y=f（x）的切線，若l的斜率存在最小值-2，求a的值，并求取得最小斜率時切線l的方程；
（Ⅲ）若f（x）分別在x₁、x₂（x₁≠x₂）處取得極值，求證：f（x₁）+f（x₂）＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax+bsinx，當x=

時，f（x）取得極小值

．
（1）求a，b的值；
（2）設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x）．若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：
①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
②對任意x∈R都有g（x）≥F（x）．則稱直線l為曲線S的“上夾線”．
試證明：直線l：y=x+2是曲線S：y=ax+bsinx的“上夾線”．
（3）記h(x)=

[5x-f(x)]，設x₁是方程h（x）-x=0的實數根，若對于h（x）定義域中任意的x₂、x₃，當|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時，問是否存在一個最小的正整數M，使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立，若存在請求出M的值；若不存在請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數f（x）=ax+bsinx，當 $數學公式$ 時，f（x）取得極小值 $數學公式$ ．
（1）求a，b的值；
（2）設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x）．若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：
①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
②對任意x∈R都有g（x）≥F（x）．則稱直線l為曲線S的“上夾線”．
試證明：直線l：y=x+2是曲線S：y=ax+bsinx的“上夾線”．
（3）記 $數學公式$ ，設x₁是方程h（x）-x=0的實數根，若對于h（x）定義域中任意的x₂、x₃，當|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時，問是否存在一個最小的正整數M，使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立，若存在請求出M的值；若不存在請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

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科目：高中數學 來源：《圓錐曲線》2012-2013學年廣東省十三大市高三（上）期末數學試卷匯編（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知點M（x，y）是橢圓C：

=1上的動點，以M為切點的切線l與直線y=2相交于點P．
（1）過點M且l與垂直的直線為l₁，求l₁與y軸交點縱坐標的取值范圍；
（2）在y軸上是否存在定點T，使得以PM為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，說明理由．
（參考定理：若點Q（x₁，y₁）在橢圓

，則以Q為切點的橢圓的切線方程是：

．

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