Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=PA=2，PD=2

2

，PB=

7

．
（Ⅰ）證明AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積V；
（Ⅲ）設(shè)二面角P-BD-A的大小為θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）由底面ABCD是矩形，知AD⊥AB，由AD=PA=2，PD=2

2

，知AD⊥PA，由此能證明AD⊥平面PAB．
（2）由AB=3，PA=2，PB=

7

，過點P作PH垂直AB交AB于點H，PH⊥平面ABCD，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．
（3）過點H作AM⊥BD，交BD于M，連接PM，則∠HMP就是θ，由此能求出cosθ．

解答：解：（1）∵底面ABCD是矩形，∴AD⊥AB，
∵AD=PA=2，PD=2

2

，∴AD⊥PA，
∵AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB．
（2）∵AB=3，PA=2，PB=

7

，過點P作PH垂直AB交AB于點H
∴PH⊥平面ABCD，利用面積法可求出PH=

3

∴四棱錐P-ABCD的體積
V=

1

3

×S四邊形ABCD×PH
=

1

3

×3×2×

3

=2

3

．
（3）過點H作AM⊥BD，交BD于M，連接PM，
則∠HMP就是θ．
∵BH=2，

HM

2

=

2

13

，
∴HM=

4

13

，
∴PM=

3+ 16 13

=

55

13

，
∴cosθ=cos∠HMP=

4 13

55 13

=

4 55

55

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．