Question

【題目】如圖，某濕地公園的鳥瞰圖是一個(gè)直角梯形，其中：，，，長(zhǎng)1千米，長(zhǎng)千米，公園內(nèi)有一個(gè)形狀是扇形的天然湖泊，扇形以長(zhǎng)為半徑，弧為湖岸，其余部分為灘地，B，D點(diǎn)是公園的進(jìn)出口.公園管理方計(jì)劃在進(jìn)出口之間建造一條觀光步行道：線段線段弧，其中Q在線段上（異于線段端點(diǎn)），與弧相切于P點(diǎn)（異于弧端點(diǎn)］根據(jù)市場(chǎng)行情，段的建造費(fèi)用是每千米10萬(wàn)元，湖岸段弧的建造費(fèi)用是每千米萬(wàn)元（步行道的寬度不計(jì)），設(shè)為弧度觀光步行道的建造費(fèi)用為萬(wàn)元.

（1）求步行道的建造費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求其走義域；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，步行道的建造費(fèi)用最低？

Answer 1

【答案】（1），定義域：；（2）當(dāng)時(shí)，步行道的建造費(fèi)用最低.

【解析】

（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得所在圓的方程為，可得，從而求得所在直線方程，與所在直線方程聯(lián)立求得坐標(biāo)，即可得到與，再由弧長(zhǎng)公式求的長(zhǎng)，再根據(jù)與相切于點(diǎn)（異于弧端點(diǎn)）與，即可求得函數(shù)關(guān)系式與其定義域；

（2）令，利用導(dǎo)數(shù)求使步行道的建造費(fèi)用最低時(shí)的值．

（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則所在圓的方程為，，，直線：.

∵直線的方程為

∴.

所以，，弧長(zhǎng)，

所以，化簡(jiǎn)得.

∵與相切于點(diǎn)（異于弧端點(diǎn)），

∴定義域：.

（2）令，求導(dǎo)得，令，

（舍去），，，

		0
		極小值

所以當(dāng)時(shí)，最小，即w最小，當(dāng)時(shí)，步行道的建造費(fèi)用最低.