Question

“星光大道”是備受觀眾喜愛的央視欄目，現有3位周冠軍A、B、C和甲、乙兩位挑戰者參加12月的月冠軍比賽，比賽規則：第一輪甲、乙兩位挑戰者從3位周冠軍中各選一位周冠軍進行比賽，勝者進入第二輪比賽，未被選中的周冠軍直接進入第二輪比賽，第二輪比賽從3位選手中淘汰一位選手，勝者進入第三輪比賽，第三輪比賽的勝者為月冠軍．假設每輪比賽每位選手被淘汰的可能性相等．
（1）求周冠軍A、B和挑戰者甲、乙進入第一輪比賽且至少有一位挑戰者進入第二輪比賽的概率．
（2）求月冠軍是挑戰者的概率．
（3）設進入第三輪比賽的挑戰者的人數ξ，求ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（1）周冠軍A、B和挑戰者甲、乙進入第一輪比賽的概率為

1

2

，至少有1位挑戰者進入第二輪比賽的概率為

3

4

，由此能求出周冠軍A、B和挑戰者甲、乙進入第一輪比賽且至少有1位挑戰者進入第二輪比賽的概率．
（2）由恰有1位挑戰者進入第三輪比賽并在第三輪比賽中獲勝的概率為

1

6

，有2位挑戰者進入第二輪比賽，但只有1位進入第三輪比賽并在第三輪比賽中獲勝的概率為

1

6

，由此能求出月冠軍是挑戰者的概率．
（3）由題意得ξ=0，1，2，P（ξ=0）=

5

12

，P（ξ=1）=

1

2

，P（ξ=2）=

1

12

，由此能求出ξ的分布列和ξ的數學期望Eξ．

解答：解：（1）周冠軍A、B和挑戰者甲、乙進入第一輪比賽的概率為

A 2 2

C 1 3 C 1 2

=

1

2

，
至少有1位挑戰者進入第二輪比賽的概率為

C

1 2

×

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

=

3

4

，
∴周冠軍A、B和挑戰者甲、乙進入第一輪比賽且至少有1位挑戰者進入第二輪比賽的概率為

1

3

× 

3

4

=

1

4

．
（2）∵恰有1位挑戰者進入第三輪比賽并在第三輪比賽中獲勝的概率為

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

2

=

1

6

，
有2位挑戰者進入第二輪比賽，但只有1位進入第三輪比賽并在第三輪比賽中獲勝的概率為

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

2

=

1

6

，
有2位挑戰者進入第二輪比賽并全部進入第三輪比賽的概率為

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

12

，
故月冠軍是挑戰者的概率為

1

3

×

3

4

=

1

4

．
（3）由題意得ξ=0，1，2，
由（2）得P（ξ=0）=

1

2

× 

1

2

+

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

1

3

=

5

12

，
P（ξ=1）=

1

2

×

1

2

×

2

3

+

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

2

3

=

1

2

，
P（ξ=2）=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

12

，
∴ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2
P	5 12	1 2	1 12

∴Eξ的數學期望Eξ=0×

5

12

+1×

1

2

+2×

1

12

=

2

3

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．