Question

直三棱柱中，，，，D為BC中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：;
（Ⅱ）求證：;
（Ⅲ）求二面角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）由等腰三角形底邊中線即為高線可得，由三棱柱為直棱柱可得側(cè)棱垂直底面從而垂直底面內(nèi)的任意一條直線，即可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得。（Ⅱ）連接交于，連接。可知為中點(diǎn)。由三角形中位線可證得//，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得。（Ⅲ）建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)各邊長可得各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出面的法向量。由題意可證得，所以即為面的一個(gè)法向量。可用向量數(shù)量積公式求兩法向量所成角的余弦值。但兩法向量所成的角與二面角相等或互補(bǔ)，需根據(jù)題意判斷。
試題解析：(Ⅰ) 因?yàn)?三棱柱中，平面，所以
所以CC₁AD             1分
AB=AC，且D為AC中點(diǎn)
ADBC              2分
             3分
AD平面BC₁             4分
（Ⅱ）
連接A₁C交AC₁于M，連接DM
側(cè)面AC₁為平行四邊形
M為A₁C中點(diǎn)             5分
D為BC中點(diǎn)
DM//A₁B             6分
    7分
A₁B//平面AC₁D             8分
（Ⅲ）在直三棱柱中，AA₁平面ABC
AA₁AB，AA₁AC
又ABAC             9分
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為Ox軸，AC為Oy軸，AA₁為Oz軸建立空間直角坐標(biāo)系
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（，，0），C₁（0，1，），
A₁（0，0，），
，             10分
設(shè)平面AC₁D的法向量為=(x,y,z)，


令z=1，則
             11分
又AB平面AC₁
平面AC₁的法向量             12分
若二面角D-AC₁-C的大小為
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033212721602.png" style="vertical-align:middle;" />             13分
又 由圖可知二面角D-AC₁-C為銳角，
二面角的余弦值為
即，。            14分