Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，點M在邊DC上，點F在邊AB上，且DF⊥AM，垂足為E，若將△ADM沿AM折起，使點D位于D′位置，連接D′B，D′C得四棱錐D′﹣ABCM．

（1）求證：AM⊥D′F；
（2）若∠D′EF= ，直線D'F與平面ABCM所成角的大小為 ，求直線AD′與平面ABCM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AM⊥D′E，AM⊥EF，D′E∩⊥EF=E，

∴AM⊥面D′EF

∵D′F面D′EF，

∴AM⊥D′F；

（2）解：由（1）知，AM⊥面D′EF，AM平面ABCM，

∴平面ABCM⊥面D′EF，

∴過D′作D′H⊥EF，則D′H⊥平面ABCM，

∴∠D′FH也就是∠D′FE是直線D'F與平面ABCM所成角，由已知，∠D′FE= ，

并且∠D′AH是所求的直線AD′與平面ABCM所成角．

∵∠D′EF= ，且∠D′FE=

在三角形△D′EF中，∵∠D′EF= ，且∠D′FE=

所以是等邊三角形，∴D′E=EF，即DE=EF，∴△DAF是等腰三角形．

設AD=2，∴AF=2，EF= ，四棱錐D′﹣ABCM的高D′H=

由于直線AD′與平面ABCM所成角為∠D′AH，∴sin∠D′AH= =

【解析】（1）根據圖形折疊前后的關系，易證AM⊥面D′EF，得出AM⊥D′F．（2）由（1）知，AM⊥面D′EF，所以平面ABCM⊥面D′EF，過D′作D′H⊥EF，則D′H⊥平面ABCM，，∠D′FH是直線D'F與平面ABCM所成角，∠D′AH是直線AD′與平面ABCM所成角在直角三角形D′AH求解即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的性質和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．