Question

（2012•廣州一模）已知橢圓x2+

y2

4

=1的左，右兩個頂點分別為A、B．曲線C是以A、B兩點為頂點，離心率為

5

的雙曲線．設點P在第一象限且在曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點T．
（1）求曲線C的方程；
（2）設P、T兩點的橫坐標分別為x₁、x₂，證明：x₁•x₂=1；
（3）設△TAB與△POB（其中O為坐標原點）的面積分別為S₁與S₂，且

PA

•

PB

≤15，求S12-S22的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意設雙曲線C的方程，利用雙曲線的離心率為

5

，建立等式，從而可求雙曲線C的方程；
（2）證法1：設直線AP的方程與橢圓方程聯立，確定P、T的橫坐標，即可證得結論；
證法2：利用k_AP=k_AT，建立等式，根據點P和點T分別在雙曲線和橢圓上，可得方程，代入化簡，可得結論；
證法3：設直線AP的方程與橢圓方程聯立，確定P、T的橫坐標，即可證得結論；
（3）利用

PA

•

PB

≤15，結合點P是雙曲線在第一象限內的一點，可得1＜x₁≤2，利用三角形的面積公式求面積，從而可得S12-S22的不等式，利用換元法，再利用導數法，即可求S12-S22的取值范圍．

解答：（1）解：依題意可得A（-1，0），B（1，0）．…（1分）
設雙曲線C的方程為x2-

y2

b2

=1（b＞0），
因為雙曲線的離心率為

5

，所以

1+b2

1

=

5

，即b=2．
所以雙曲線C的方程為x2-

y2

4

=1．…（3分）
（2）證法1：設點P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），直線AP的斜率為k（k＞0），
則直線AP的方程為y=k（x+1），…（4分）
聯立方程組

y=k(x+1) x2+ y2 4 =1.

…（5分）
整理，得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0，
解得x=-1或x=

4-k2

4+k2

．所以x2=

4-k2

4+k2

．…（6分）
同理可得，x1=

4+k2

4-k2

．…（7分）
所以x₁•x₂=1．…（8分）
證法2：設點P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），
則kAP=

y1

x1+1

，kAT=

y2

x2+1

．…（4分）
因為k_AP=k_AT，所以

y1

x1+1

=

y2

x2+1

，即

y12

(x1+1)2

=

y22

(x2+1)2

．…（5分）
因為點P和點T分別在雙曲線和橢圓上，所以x12-

y12

4

=1，x22+

y22

4

=1．
即y12=4(x12-1)，y22=4(1-x22)．…（6分）
所以

4(x12-1)

(x1+1)2

=

4(1-x22)

(x2+1)2

，即

x1-1

x1+1

=

1-x2

x2+1

．…（7分）
所以x₁•x₂=1．…（8分）
證法3：設點P（x₁，y₁），直線AP的方程為y=

y1

x1+1

(x+1)，…（4分）
聯立方程組

y= y1 x1+1 (x+1) x2+ y2 4 =1.

…（5分）
整理，得[4(x1+1)2+y12]x2+2y12x+y12-4(x1+1)2=0，
解得x=-1或x=

4(x1+1)2-y12

4(x1+1)2+y12

．…（6分）
將y12=4x12-4代入x=

4(x1+1)2-y12

4(x1+1)2+y12

，得x=

1

x1

，即x2=

1

x1

．
所以x₁•x₂=1．…（8分）
（3）解：設點P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），
則

PA

=(-1-x1，-y1)，

PB

=(1-x1，-y1)．
因為

PA

•

PB

≤15，所以(-1-x1)(1-x1)+y12≤15，即x12+y12≤16．…（9分）
因為點P在雙曲線上，則x12-

y12

4

=1，所以x12+4x12-4≤16，即x12≤4．
因為點P是雙曲線在第一象限內的一點，所以1＜x₁≤2．…（10分）
因為S1=

1

2

|AB||y2|=|y2|，S2=

1

2

|OB||y1|=

1

2

|y1|，
所以S12-S22=y22-

1

4

y12=(4-4x22)-(x12-1)=5-x12-4x22．…（11分）
由（2）知，x₁•x₂=1，即x2=

1

x1

．
設t=x12，則1＜t≤4，S12-S22=5-t-

4

t

．
設f(t)=5-t-

4

t

，則f′(t)=-1+

4

t2

=

(2-t)(2+t)

t2

，
當1＜t＜2時，f'（t）＞0，當2＜t≤4時，f'（t）＜0，
所以函數f（t）在（1，2）上單調遞增，在（2，4]上單調遞減．
因為f（2）=1，f（1）=f（4）=0，
所以當t=4，即x₁=2時，(S12-S22)min=f(4)=0．…（12分）
當t=2，即x1=

2

時，(S12-S22)max=f(2)=1．…（13分）
所以S12-S22的取值范圍為[0，1]．…（14分）

點評：本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關系、函數最值等知識，考查數形結合、化歸與轉化、函數與方程的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力．