Question

設A，B分別為橢圓的左、右頂點，C，D分別為橢圓上、下頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且四邊形ACBD 的面積為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設Q為橢圓上異于A、B的點，求證：直線QA與直線QB的斜率之積為定值；
（3）設P為直線上不同于點（，0）的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M、N，證明：點B在以MN為直徑的圓內．

Answer 1

解：（1）依題意得，a=2c，，∴，∴橢圓的方程為
（2）設Q（x，y），∵A（-2，0），B（2，0），∴
∴，故得證．
（3）由（1）得 A（-2，0），B（2，0），，設M（x₀，y₀）
∵M在橢圓上，∴又點M異于頂點A，B，∴-2＜x₀＜2，由P，A，M三點共線可以得，∴
，從而有
∵-2＜x₀＜2，∴∴∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點B在以MN為直徑的圓內．
分析：（1）依題意尋找a，b，c，從而可求橢圓的方程；（2）先求直線QA與直線QB的斜率，利用橢圓的方程可得證；（3）要證點B在以MN為直徑的圓內，只需證∠MBN為鈍角，從而∠MBP為銳角，故即證．
點評：本題主要考查橢圓標準方程的求解，考查橢圓方程的運用，考查等價轉化的數學思想．