Question

已知等比數列{a_n}的公比為q（q≠1）的等比數列，且a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差數列．
（Ⅰ）求公比q的值；
（Ⅱ）設{b_n}是以2為首項，q為公差的等差數列，其前n項和為S_n，當n≥2時，比較S_n與b_n的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由數列{a_n}是公比為q（q≠1）的等比數列，結合a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差數列，直接利用等差數列的性質列式進行計算；
（Ⅱ）求出等差數列{b_n}的前n項和，由S_n與b_n作差得到S_n-1，代入前n-1項和的表達式后因式分解，然后分類討論比較
S_n與b_n的大小．

解答：解答：（Ⅰ）由數列{a_n}是公比為q（q≠1）的等比數列，且a₂₀₁₁，a₂₀₁₃，a₂₀₁₂成等差數列，
所以2a₂₀₁₃=a₂₀₁₁+a₂₀₁₂，即2a2011q2=a2011+a2011q，
∵a₂₀₁₁≠0，∴2q²-q-1=0．
∴q=1或q=-

1

2

，
又q≠1，∴q=-

1

2

；
（Ⅱ）數列{b_n}是以2為首項，q為公差的等差數列，
公差q=-

1

2

，則Sn=2n+

n(n-1)

2

•(-

1

2

)=

-n2+9n

4

．
當n≥2時，Sn-bn=Sn-1=

-(n-1)2+9(n-1)

4

=

-n2+11n-10

4

=-

(n-1)(n-10)

4

，
故對于n∈N^*，當2≤n≤9時，S_n＞b_n；
當n=10時，S_n=b_n；
當n≥11時，S_n＜b_n．

點評：本題是等差數列和等比數列的綜合題，考查了等差數列的性質，考查了等差數列的前n項和，訓練了作差法比較兩個數的大小，利用了分類討論的數學思想方法，是中檔題．