Question

如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面，，分別是的中點．

（1）證明：平面；
（2）取，若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）用線面垂直證，用等腰三角形中線即為高線證即，根據線面垂直得判定定理即可得證。（2）由（1）知平面，則為與平面所成的角。因為為定值，所以最短即最短時角的正弦值最大。故此時。故此可推導出的值，過作于，則平面，過作于，連接，則為二面角的平面角。也可采用空間向量法。
試題解析：解：方法一：（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形，因為為的中點，
所以                                1分
又，因此                       2分
因為平面，平面，
所以                         3分
而平面，平面，
所以平面  .              5分
（2）為上任意一點，連接由（1）知平面，則為與平面所成的角                    6分
在中，，
所以當最短時，即當時，最大 .              7分
此時，     因此
又，所以，
所以               8分
因為平面，平面，
所以平面平面
過作于，則平面，
過作于，連接，則為二面角的平面角，  10分
在中， 
又是的中點，在中，
又               11分
在中，
即所求二面角的余弦值為。                                  13分
第二問：方法二
（2）由（1）可知兩兩垂直，
以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。 
設,則
（其中）                                6分

面的法向量為

與平面所成最大角的正切值為               7分
的最大值為，
即在的最小值為，
函數對稱軸，
所以，計算可得                  9分
所以
設平面的一個法向量為，則
因此，取，則             11分
為平面的一個法向量.                      12分
所以
所以，所求二面角的余弦值為                               13分