Question

如圖，已知空間四邊形ABCD中，O是對角線BD的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求證：CO⊥AO；
（2）求證：AO⊥平面BCD；
（3）若G為△ADC的重心，試在線段DO上確定一點F，使得GF∥平面AOC．

Answer 1

分析：（1）在△AOC中，可得AO=1，CO=

3

，利用勾股定理，可得AO⊥OC；
（2）根據AO⊥OC，AO⊥BD，，利用線面垂直的判定，可得AO⊥平面BCD；
（3）連接DG并延長交AC于H，則

DG

DH

=

1

3

，在DO上取點F，使

DF

DO

=

1

3

，連接FG、OH，則可得FG∥OH，利用線面平行的判定，可得GF∥平面AOC．

解答：（1）證明：∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

．
而AC=2，∴AO²+CO²=AC²，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．…（5分）
（2）證明：∵AO⊥OC，AO⊥BD，BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD…（8分）
（3）解：連接DG并延長交AC于H，則

DG

DH

=

1

3

，在DO上取點F，使

DF

DO

=

1

3

，連接FG、OH
∵

DG

DH

=

DF

DO

，∴FG∥OH
∵OH?平面AOC，FG?平面AOC
∴GF∥平面AOC…（14分）

點評：本題考查空間線面位置關系，考查線面垂直，考查線面平行，掌握線面垂直、平行的判定是關鍵．