Question

如圖，已知空間四邊形ABCD中，

AB

=

a

-2

c

，

CD

=5

a

+6

b

-8

c

，對角線AC，BD的中點分別為E，F，則

EF

=

 

（用向量

a

，

b

，

c

表示）．

Answer 1

分析：把

EF

分解為用已知向量表示的形式，可作圖幫助分析已知向量與未知向量之間的關系，要注意中點向量表示中的特殊含意．

解答：解：如圖：
∵

EF

=

EA

+

AB

+

BF

，
又

EF

=

EC

+

CD

+

DF

，
兩式相加，得
2

EF

=（

EA

+

EC

）+（

AB

+

CD

）+（

BF

+

DF

）．
∵E是AC的中點，
故

EA

+

EC

=

0

．同理，

BF

+

DF

=

0

．
∴2

EF

=

AB

+

CD

=（

a

-2

c

）+（5

a

+6

b

-8

c

）=6

a

+6

b

-10

c

．
∴

EF

=3

a

+3

b

-5

c

．
故答案為：3

a

+3

b

-5

c

．

點評：本題考查的知識點是平面向量加（減）法的幾何意義，處理的關鍵是：用已知向量表示未知向量的關鍵是將未知向量“湊配”成用已知向量表示的形式．其核心是向量加減法的“三角形”法則．