Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案不唯一，見解析；(2)

【解析】

（1）先由題意得到定義域，對函數求導，分別討論和兩種情況，即可得出結果；

（2）因為，由（1）得到函數在上單調遞增，不妨設，則可化為，令，則為上的減函數，對求導，根據函數單調性，即可得出結果.

（1）∵依題意可知：函數的定義域為，

∴，

當時，在恒成立，所以在上單調遞增.

當時，由得；由得；

綜上可得當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減；在上單調遞增.

（2）因為，由（1）知，函數在上單調遞增，

不妨設，則，

可化為，

設，則，

所以為上的減函數，

即在上恒成立，等價于在上恒成立，

設，所以，

因，所以，所以函數在上是增函數，

所以（當且僅當時等號成立）

所以．