Question

一個口袋中有個白球和個紅球（，且），每次從袋中摸出兩個球（每次摸球后把這兩個球放回袋中），若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎．
(1)試用含的代數式表示一次摸球中獎的概率；
(2)若，求三次摸球恰有一次中獎的概率；
(3)記三次摸球恰有一次中獎的概率為，當為何值時，取最大值.

Answer 1

（1），（2），(3) .

試題分析：（1）求古典概型概率，關鍵正確計算事件所包含的基本事件. 一次摸球從個球中任選兩個，有種選法，其中兩球顏色相同有種選法；因此一次摸球中獎的概率.（2）因為每次摸球后把這兩個球放回袋中，所以事件為獨立重復試驗. 由（1）得一次摸球中獎的概率是，所以三次摸球恰有一次中獎的概率是 .(3)同（2）可得三次摸球中恰有一次中獎的概率是，這是三次函數，利用導數求最值. 由知在是增函數，在是減函數，所以當時，取最大值.
試題解析：(1)一次摸球從個球中任選兩個，有種選法，
其中兩球顏色相同有種選法；     
∴一次摸球中獎的概率.         4分
(2)若，則一次摸球中獎的概率是，三次摸球是獨立重復實驗，三次摸球中恰有一次中獎的概率是.           8分
(3)設一次摸球中獎的概率是，
則三次摸球中恰有一次中獎的概率是，
∵，
∴在是增函數，在是減函數，
∴當時，取最大值.          10分
由.
∴時，三次摸球中恰有一次中獎的概率最大．         12分