Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,，其焦距為，點E為橢圓的上頂點，且．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設圓的切線l交橢圓C于A，B兩點（O為坐標原點），求證；

（3）在（2）的條件下，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）由焦距可求出，由，可求出，，進而得到橢圓方程；

（2）當切線與軸垂直時，求出焦點坐標，進而證得；當切線與軸不垂直時，設切線方程，聯立切線方程與橢圓方程，列韋達定理，利用，即可證明；

（3）當切線與軸垂直時，；當切線與軸不垂直時，由、韋達定理以及弦長公式，可求出，借助基本不等式即可求出的最大值.

（1）由題意知，又，∴，∴，，

橢圓的方程為.

（2）（ⅰ）當切線與軸垂直時，

交點坐標為，，；

（ⅱ）當切線與軸不垂直時，

設切線為，，，

由圓心到直線距離為，，

聯立直線方程與橢圓方程，得，

，，

，

.

（3）當切線與軸垂直時，；

當切線與軸不垂直時，由（2）知，，

∵，

令，則，

當且僅當時等號成立，.

綜上所述，的最大值為.