Question

【題目】已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點，且與圓相切．

（1）求的值；

（2）動點在拋物線的準線上，動點在上，若在點處的切線交軸于點，設．求證點在定直線上，并求該定直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點在定直線上．

【解析】

（1）設出直線的方程為，由直線和圓相切的條件：，解得；

（2）設出，運用導數求得切線的斜率，求得為切點的切線方程，再由向量的坐標表示，可得在定直線上；

解：（1）依題意設直線的方程為，

由已知得：圓的圓心，半徑，

因為直線與圓相切，

所以圓心到直線的距離，

即，解得或（舍去）．

所以；

（2）依題意設，由（1）知拋物線方程為，

所以，所以，設，則以為切點的切線的斜率為，

所以切線的方程為．

令，，即交軸于點坐標為，

所以， ，

，

．

設點坐標為，則，

所以點在定直線上．