Question

（本小題滿分10分） 如圖，已知橢圓C：，經過橢圓的右焦點F且斜率為的直線l交橢圓C于A、B兩點，M為線段AB的中點，設O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點．（I）是否存在，使對任意，總有成立？若存在，求出所有的值；

（II）若，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）且k≠0

【解析】解：（1）橢圓C：

直線AB：y＝k（x－m）,                                          

，（10k²＋6）x²－20k²mx＋10k²m²－15m²＝0．  

設A（x₁, y₁）、B（x₂,y₂）,則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝   

則x_m＝             

若存在，使為ON的中點，∴．

∴，

即N點坐標為．                           

由N點在橢圓上，則    

即5k⁴－2k²－3＝0．∴或（舍）．

故存在，使． ··········5分                             

（2）＝x₁x₂＋k²（x₁－m）（x₂－m）

＝（1＋k²）x₁x₂－k²m（x₁＋x₂）＋k₂m²

＝（1＋k²）·     

由得    

即k²－15≤－20k²－12，且k≠0．··········10分