Question

在平面直角坐標系中，經過點的動直線，與橢圓：（）相交于，兩點. 當軸時，，當軸時，．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若的中點為，且，求直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

試題分析：（Ⅰ）利用已知條件確定、的值，進而求出橢圓的方程；（Ⅱ）解法一是逆用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個性質，由得到為直角三角形，且為斜邊，于是得到，借助韋達定理與向量的有關知識確定直線的方程；解法二是直接設直線的方程，直接從問題中的等式出發，借助韋達定理與弦長公式確定直線的方程.
試題解析：解法一：（Ⅰ）當軸時，，
當軸時，，得，
解得，．
所以橢圓的方程為：．    5分
（Ⅱ）設直線，與方程聯立，得．
設，，則， ．①
因為，即，
所以，即，              8分
所以，則，
將①式代入并整理得：，解出，
此時直線的方程為：，即，．  12分
解法二：（Ⅰ）同解法一                                   5分
（Ⅱ）設直線：，與聯立，得．（﹡）
設，，則，．
從而
．       8分
設，則，．
由得：，
整理得，即，
即，解得，從而．
故所求直線的方程為：，
即和．                    12分