Question

已知a=2

∫

π 0

(cos(x+

π

6

))dx，則二項式(x2+

a

x

)5的展開式中x的系數為（　　）

A．10

B．-10

C．80

D．-80

Answer 1

分析：利用定積分的意義可求得a，再利用二項展開式的通項公式即可求得二項式(x2+

a

x

)5的展開式中x的系數．

解答：解：∵a=2

∫

π 0

（cos（x+

π

6

））dx=2sin（x+

π

6

）

|

π 0

=2（-

1

2

-

1

2

）=-2，
∴(x2+

a

x

)5=(x2+

-2

x

)5，
設其二項展開式的通項公式T_r+1=（-2）^r•

C

r 5

•（x²）^5-r•x^-r=（-2）^r•

C

r 5

•x^10-3r，
令10-3r=1得：r=3．
∴T_r+1=（-2）³×

C

3 5

x=-8×10x=-80x，
∴二項式(x2+

-2

x

)5的展開式中x的系數為-80．
故選D．

點評：本題考查微積分基本定理與二項展開式的通項公式，求得a的值是關鍵，考查分析與運算的能力，屬于中檔題．