Question

（2010•邯鄲二模）設數列{a_n} 為等差數列，且a₅=14，a₇=20，數列{b_n} 的前n項和為S_n=1-(

1

3

)n（n∈N^*），
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由數列{a_n}為等差數列，且a₅=14，a₇=20，能得到公差d=3，首項a₁=2．由此能求出{a_n}的通項公式；由數列{b_n}的前n項和為S_n=1-(

1

3

)n（n∈N^*），由bn=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由a_n=3n-1，bn=

2

3 n

，得c_n=a_n•b_n=2(3n-1)•

1

3n

，所以Tn=2[2•

1

3

+5•

1

3 2

+8•

1

3 3

+…+(3n-1)•

1

3 n

]，再由錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和T_n．

解答：（Ⅰ）解：∵數列{a_n}為等差數列，且a₅=14，a₇=20，
∴公差d=

1

2

(a7-a5)=3，
∵a₅=a₁+4×3=14，
∴a₁=2．
∴a_n=2+（n-1）×3=3n-1．
∵數列{b_n}的前n項和為S_n=1-(

1

3

)n（n∈N^*），
∴b1=S1=1-

1

3

=

2

3

，
b_n=S_n-S_n-1=[1-(

1

3

)n]-[1-(

1

3

)n-1]=

2

3n

，
當n=1時，

2

3n

=

2

3

=a1，
∴bn=

2

3 n

．
（Ⅱ）由a_n=3n-1，bn=

2

3 n

，
得c_n=a_n•b_n=2(3n-1)•

1

3n

，
∴Tn=2[2•

1

3

+5•

1

3 2

+8•

1

3 3

+…+(3n-1)•

1

3 n

]，

1

3

T_n=2[2•

1

3 2

+5•

1

33

+…+(3n-4)•

1

3 n

+(3n-1)•

1

3 n+1

]，
兩式相減，得

2

3

Tn=2[3•

1

3

+3•

1

3 2

+3•

1

3 3

+…++3•

1

3 n

-

1

3

-(3n-1)•

1

3 n+1

]，
∴Tn=

7

2

-

7

2

•

1

3 n

-

n

3 n-1

．

點評：本題考查數列的通項公式和數列的前n項和的計算，綜合性強，強難大，是高考的重點．解題時要認真審題，注意迭代法和錯位相減法的合理運用．