Question

定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y），且當x＞1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
（3）若關于x的不等式f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
則F（1）=2f（1）
∴f（1）=0； （5分）
證明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）
可得，
設x₁＞x₂＞0，，，
∴，即f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（0，+∞）上單調遞減；（10分）
（3）因為f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1），
所以f（k•3^x）≥f（9^x-3^x+1），由（2）得（*）恒成立，
令t=3^x＞0，則（*）可化為t²-（k+1）t+1≥0對任意t＞0恒成立，且k＞0，
∴（k+1）²-4≤0
∴0＜k≤1．（15分）
分析：（1）令x=y=1，根據定義在（0，+∞）上的函數f（x）恒有f（xy）=f（x）+f（y），我們易構造關于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）；
（2）根據已知中定義在（0，+∞）上的函數f（x）恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且x＞1時，f（x）＜0恒成立，結合函數單調性的證明方法--作差法（定義法）我們即可得到f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
（3）結合（1）、（2）的結論，我們可將不等式f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1）轉化為一個指數不等式，進而利用換元法可將問題轉化為一個二次不等式恒成立問題，解答后即可得到滿足條件的實數k的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數單調性的性質，其中（1）的關鍵是“湊配”思想的應用，（2）的關鍵是將f（xy）=f（x）+f（y），變型為f（xy）-f（y）=f（x），從而得到f（x₁）-f（x₂）=f（），（3）的關鍵是利用（1）（2）的結論對不等式f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1）進行變形．