Question

（文科）點M是圓x²+y²=4上的一個動點，過點M作MD垂直于x軸，垂足為D，P為線段MD的中點．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設(shè)點P的軌跡為C，若直線l：y=-ex+m（其中e為曲線C的離心率）與曲線C有兩個不同的交點A與B且

OA

•

OB

=2（其中O為坐標(biāo)原點），求m的值．

Answer 1

分析：（1）由題意點M是圓x²+y²=4上的一個動點，過點M作MD垂直于x軸，垂足為D，P為線段MD的中點，可得點M的坐標(biāo)與點P的坐標(biāo)的關(guān)系，用中點P的坐標(biāo)表示出點M的坐標(biāo)，然后再代入圓的方程求出點P的軌跡方程
（2）由點P的軌跡是橢圓x²+4y²=4，知e=

3

2

．由直線l：y=-

3

2

x+m與曲線C：x²+4y²=4有兩個不同的交點A與B，知x2-

3

mx+m2-1=0有兩個解，所以-2＜m＜2．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

3

m，x₁x₂=m²-1，由

OA

•

OB

=2，知x₁x₂+y₁y₂=2，由此能求出m．

解答：解：（1）由題意，令P（x，y），
則由中點坐標(biāo)公式知：D（x，0），M（x，2y），
∵點M是圓x²+y²=4上的一個動點，
∴點P的軌跡方程為x²+4y²=4．
（2）由（1）點P的軌跡是橢圓x²+4y²=4，
∴e=

3

2

．
∵直線l：y=-

3

2

x+m與曲線C：x²+4y²=4有兩個不同的交點A與B，
∴

y=- 3 2 x+m x2+4y2=4

⇒x2-

3

mx+m2-1=0有兩個解，
∴△=-m²+4＞0，∴-2＜m＜2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

3

m，x₁x₂=m²-1，
∵

OA

•

OB

=2（其中O為坐標(biāo)原點），
∴x₁x₂+y₁y₂=2，
∴5m²=7，∴m=±

35

5

．

點評：本題考查直線與圓方程的應(yīng)用，解答本題關(guān)鍵點有二，一是熟練掌握代入法求軌跡方程，二是合理進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．本題考查了推理判斷的能力及代入法求軌跡方程技巧．