Question

（文科）點M是圓x²+y²=4上的一個動點，過點M作MD垂直于x軸，垂足為D，P為線段MD的中點．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡為C，若直線l：y=-ex+m（其中e為曲線C的離心率）與曲線C有兩個不同的交點A與B且

OA

•

OB

=2（其中O為坐標原點），求m的值．

Answer 1

（1）由題意，令P（x，y），
則由中點坐標公式知：D（x，0），M（x，2y），
∵點M是圓x²+y²=4上的一個動點，
∴點P的軌跡方程為x²+4y²=4．
（2）由（1）點P的軌跡是橢圓x²+4y²=4，
∴e=

3

2

．
∵直線l：y=-

3

2

x+m與曲線C：x²+4y²=4有兩個不同的交點A與B，
∴

y=- 3 2 x+m x2+4y2=4

?x2-

3

mx+m2-1=0有兩個解，
∴△=-m²+4＞0，∴-2＜m＜2．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

3

m，x₁x₂=m²-1，
∵

OA

•

OB

=2（其中O為坐標原點），
∴x₁x₂+y₁y₂=2，
∴5m²=7，∴m=±

35

5

．