Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
已知直線(xiàn)： 和橢圓，橢圓C的離心率為，連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)形成四邊形的面積為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線(xiàn)與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為P，M為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段PM長(zhǎng)度的最大值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）||取得最大值.

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與橢圓的相交問(wèn)題、兩點(diǎn)間的距離公式、配方法求函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用離心率求出基本量a和b，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，消參，由于直線(xiàn)與橢圓交于2個(gè)點(diǎn)，所以消參后的方程的判別式大于0，解不等式求出m的取值范圍；第三問(wèn)，將m=2代入，直接得到直線(xiàn)的方程，從而得到p點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出p點(diǎn)坐標(biāo)，則利用兩點(diǎn)間距離公式可求出，利用點(diǎn)M在橢圓上，轉(zhuǎn)化x，通過(guò)配方法求函數(shù)的最值.
（1）由離心率，得
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051337028584.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
即橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                                    4分
（2）由    消得：．
所以， 可化為
解得．                                                          8分
（3）由l：,設(shè)， 則, 所以                            9分
設(shè)滿(mǎn)足,
則|
因?yàn)?， 所以                                                          11分
當(dāng)時(shí)，||取得最大值．                                                12分