Question

甲、乙、丙三人玩游戲，規定每次在寫有數字1，2，3，4，5，6的6張卡片中隨機抽取一張，若數字為1或2或3，則甲得1分；若數字為4或5，則乙得1分；若數字為6，則丙得1分．一共抽取3次，得2分或3分者獲勝．
（Ⅰ）求乙獲勝的概率；
（Ⅱ）記ξ為甲得的分數，求隨機變量ξ的概率分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）乙獲勝有下列三種情況：①乙3分；②乙2分，丙1分；③乙2分，甲1分．這三種情況是互斥的，根據獨立重復試驗的概率公式和互斥事件的概率公式得到結果．
（II）ξ為甲得的分數，ξ的取值可以為0，1，2，3，結合變量對應的事件，利用獨立重復試驗概率公式，寫出變量對應的概率，寫出分布列和期望值．

解答：解：（Ⅰ）乙獲勝有下列三種情況：①乙3分；②乙2分，丙1分；
③乙2分，甲1分．這三種情況是互斥的，
∴乙獲勝的概率
P=(

1

3

)3+

C

2 3

×(

1

3

)2×

1

6

+

C

2 3

 ×  (

1

3

)2×

1

2

=

7

27

．
（Ⅱ）ξ為甲得的分數，ξ的取值可以為0，1，2，3
∴P(ξ=3)=(

1

2

)3=

1

8

；
P=(ξ=2)

C

2 3

×(

1

2

)2×

1

6

+(

1

2

)2×

1

3

×

C

3 2

=

1

8

+

1

4

=

3

8

；
P=(ξ=1)

A

3 3

×(

1

2

)×

1

6

×(

1

3

)2×

1

2

+

C

3 2

(

1

6

)2×

1

2

=

3

8

；
P=(ξ=0)=(

1

6

)3×(

1

3

)3+

C

3 2

(

1

3

)2×

1

6

+

C

3 2

(

1

6

)2×

1

3

=

1

8

．
∴ξ的概率分布列：

∴Eξ=

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查獨立重復試驗，考查互斥事件的概率加法公式，是一個綜合題目，這種題目可以作為高考卷中的解答題．